Finns imaginära tal?

Att berätta att man läser matematik är långt ifrån alltid ett bra sätt att bryta isen när man inleder ett samtal med en ny bekantskap. Allt som oftast möts ett sådant erkännande av skepsis och kommentareren "Jaha... Jag är jättedålig på matte”, vilket trots att det kan låta självnedvärderande långt ifrån sällan uttalas med en viss stolthet. Ibland är det dock ett lysande sätt att öppna ett samtal, som den gången då jag hade en Lundateknolog som skrev på sitt exjobb inom tillämpad sannolikhetsteori som bordsdam. På en fest i höstas sken en lärarstudent upp när jag berättade vad jag sysslade med och utbrast ”Åh, vad bra! Då kan jag ju fråga dig om något som jag undrat över. Finns imaginära tal?” Jag vet inte om det svar jag fick fram där och då riktigt gav frågan rättvisa. Den här texten är ett försök att komma med ett ordentligt svar på den frågan. För att ta oss igenom svaret behöver vi lite gymnasiekunskaper i matematik; till att börja med något om ekvationslösning och sedan kanske lite kunskaper om funktioner, geometri och derivatan.

Antag att vi vill lösa andragradsekvationen x²+1=0 , det vill säga, hitta ett x sådant att x²=-1. Då måste x=√-1, roten ur -1. Efter en stunds funderande kommer vi fram till att det inte finns något vanligt (reellt) tal som uppfyller det villkoret. Samma problem dyker upp om vi exempelvis vill lösa vissa tredjegradsekvationer.

Den italienske matematikern Girolamo Cardano (1501-1576) sysslade med just tredjegradsekvationer. Formeln för hur man löser dessa är uppkallad efter honom, efter att han publicerat den lösning som hans kollega Tartaglia anförtrott honom i utbyte mot ett tysthetslöfte om resultatet. Äran av att ha infört det ”fiktiva” talet √-1, som var nödvändigt för lösandet av ekvationerna, brukar ändå tilldelas Cardano. Om Cardano berättas för övrigt att han tog sitt eget liv genom självsvält för att de astrologiska förutsägelser han gjort om sin död skulle stämma.

För att lösa problemet med att √-1 inte fanns så låtsades man helt enkelt att talet fanns och räknade vidare. Och det fungerade! På så sätt kunde man också konstruera roten ur andra negativa tal, så att exempelvis √-4=√-(4*1)=√4√-1=2√-1. Många matematiker var skeptiska till de här nya talen, och kallade dem för imaginära, lite för att förringa dem.

Så småningom utvecklades en djupare teori för de imaginära talen. Man införde beteckningen i=√-1 och döpte om talen till komplexa. Trots att de tillsynes var så konstgjorda visade det sig snart att de dök upp på ett naturligt sätt i många tillämpingar; exempelvis i de matematiska beskrivningarna av kartor, strömmar, kvantmekanik, snöflingor och astronomi. Idag är de en integrerad, naturlig och viktig del av matematiken.

Finns då talet i eller är det bara så att vi likt renässansmatematikerna låtsas att det finns och glatt räknar vidare? Till att börja med kan vi konstatera att i i någon mening är ett abstrakt tal. Till skillnad från de naturliga talen 1, 2, 3, 4, ..., som vi till vardags använder för att räkna saker, så kan vi inte intuitivt förknippa komplexa tal med något påtagligt; vi kan inte säga att vi har 4i äpplen i handen. Men på samma sätt är det också med många andra tal. Om vi har delat upp en tårta i sex bitar så är det kanske meningsfullt att tala om 5/6 tårta, men vad är exempelvis 5/6 människa? Och kan de negativa talen -1, -2, -3, ... anses vara något naturligt? Visst, de används på temperaturskalor, men skalorna är konstruerade av människor som helt sonika bestämt vad negativa gradtal skall stå för. Och kanske kan man i värsta fall hitta negativa tal på sitt bankkonto, men vad betyder egentligen det? Kan man i någon fysisk mening ha mindre än ingenting på banken? Frågan om ingenting leder oss vidare till talet 0, som kanske är människans märkligaste uppfinning. Att använda en symbol för att beskriva avsaknad, att låta något beskriva intet, är ett väldigt abstrakt grepp. Noll är ett mycket märkligt tal, som steg in i vår matematik förhållandevis sent i historien.

På samma sätt kan vi diskutera talet π, pi, som dyker upp när vi exempelvis vill beskriva en cirkels area. Men i sinnevärlden finns det inga perfekta cirklar, så formeln för att beräkna cirkelns area är någonting onaturligt, och därmed är också π det. Ändå ser vi talet π som något ”verkligt”, på samma sätt som bråkdelar, negativa tal och 0 ses som verkliga.

Frågan om talet i finns föder därmed andra frågor. Vad innebär det att ett tal finns? ”Finns” talet 1? 0? Negativa tal? Är matematiken något verkligt, något påtagligt? Behöver den vara det för att kunna användas?

Kanske ska vi nöja oss med att se matematiken som ett språk som vi kan använda för att beskriva vår omvärld. Vi kan se dess beståndsdelar – tal, funktioner, räknesätt och annat – som ord som kan kombineras efter grammatiska – logiska – regler för att säga olika saker. Frågan om de komplexa talens existens blir då lika märklig som frågan om huruvida ordet ”boll” verkligen finns.

De ”påhittade” komplexa talen har för övrigt en rad fina egenskaper som gör att de är ganska trevliga att arbeta med. De öppnar upp och förklarar en rad områden av matematiken. Ett av de mest välkända resultaten visar ett samband mellan i, π och talet e.

e, som är ungefär lika med 2,718 förekommer vanligtvis i exponentialfunktionen e^x, som har den märkliga egenskapen att den är sin egen derivata. Talet dyker upp överallt i matematiken och används bland annat för att beskriva så vitt skilda saker som bakterietillväxt och när kunder ankommer till en butik. Och vi kan kombinera några av matematikens viktigaste beståndsdelar; addition, multiplikation, upphöjning, likhet, e, i, π, 1 och 0; i ett enda uttryck: det gäller nämligen att e^i*π +1=0. Tal och begrepp från olika delar av matematiken, saker vi använder för att beskriva helt olika saker i vår verklighet, är alltså långt mer ihoplindande än vi från början kunnat ana. För att förstå varför det är så behöver vi mer kunskaper om sinus, cosinus och Taylorserier... men det får bli en historia för en annan dag.

Andra bloggar om: matematik, matte, komplexa tal, imaginära tal. Intressant?

Är USA:s anseende verkligen lågt?

Pappersupplagan av dagens SvD har följande notis:

USA:s anseende i omvärlden dalar
USA:s rykte blir allt sämre internationellt. I dag anser bara 29 procent av omvärldens medborgare att landet har en positiv inverkan på världen. Förra årsskiftet var den siffran 36 procent.
I en undersökning som gjorts för BBC har 18 000 människor i 18 länder tillfrågats, och runt 73 procent ogillade president Bushs sätt att hantera Irakinvasionen. TT-AFP.
(SvD, 24/1 2007, sidan 15)

Onekligen intressanta siffror. Men stämmer de verkligen? Det är möjligt att de gör det, men utifrån den information som ges i notisen går det inte att dra några slutsatser om deras giltighet. Statistisk information är nämligen inte särskilt värdefull om vi inte vet hur den har införskaffats och bearbetats.

Först och främst måste vi fråga oss vilka de 18 länder som undersökningen har utförts i är. Hur har man bestämt vilka länder som skall vara med i undersökningen? Är de valda länderna ett bra stickprov på världens medborgare? Har man bara valt länder i stil med Iran, Kuba och Nordkorea, eller länder som traditionellt är mer USA-vänliga? Har gruppen av tillfrågade i varje land varit ett bra stickprov på landets befolkning?

Vidare är det viktigt att undra vilka frågor som har ställts i undersökningen. Har man frågat ”anser du att USA har en positiv inverkan på omvärlden?” eller bett de intervjuade att bedöma USA:s inverkan på en 1 till 5-skala? Hur har utfrågningen gått till – har man ställt frågorna via telefon, genom dörrknackning eller med enkäter som man skickat till olika hushåll? Det finns en tendens hos tillfrågade att vilja svara det som de tror att den som frågar vill höra – och således måste vi också fråga oss vem som har utfört intervjuerna, och vad man har gjort för att undvika sagda fenomen. Vid vilken tidpunkt ställdes frågorna? De nyheter som var aktuella i media vid tiden för undersökningen kan ha påverkat resultatet. Och vad innebär det egentligen att 29 % av befolkningen tycker att USA har en positiv inverkan? Medför det att 71 % anser att de inverkar negativt, eller att 25 % tycker att de har en negativ effekt medan 46 % varken säger bu eller bä?

Man skulle kunna tro att BBC går att lita på, och att de har resurser nog att göra en ordentlig undersökning. Så kan vara fallet, men jag har tidigare sett hur deras svenska motsvarighet SVT misshandlat en statistisk undersökning, så det är ingenting som jag tar för givet.

Min nyfikenhet fick mig att gå vidare till BBC:s hemsida, där jag mycket riktigt hittade en artikel om undersökningen. Det första jag lade märke till var att BBC uppgav att undersökningen omfattade 26 381 personer i 25 länder, och inte 18 000 i 18 länder, som TT påstår. 18 av de 25 länderna har tidigare varit med i undersökningen, och det är i dessa 18 som 29 % av de tillfrågade anser att USA har en positiv inverkan på omvärlden. Värt att notera är också att ett av de länder i vilka undersökningen har genomförts är just USA, och att undersökningen således inte enbart handlar om omvärldens uppfattning om landet (det framgår dock inte om USA är ett av de 18 länderna, men det är inte orimligt att anta att så är fallet).

Hela undersökningen finns att läsa i PDF-format här. På sidan 12 i dokumentet finns de frågor som ställdes (med tillhörande svarsalternativ), och på sidan 21 anges hur många tillfrågade som finns i varje land (varierar mellan 800-1800), när intervjuerna har gjorts (november 06 – januari 07), hur de har genomförts (via telefon eller ”face-to-face”) och vilken del av befolkningen som har tillfrågats (åldersgrupp och vilken typ av område de bor i). Felmarginalen i de olika länderna uppges variera mellan +/- 2,5 och 4 procent. Det framgår inte hur de tillfrågade har valts.

I Filippinerna har 1000 personer, ålder 18 och uppåt, tillfrågats i face-to-face-samtal. Om vi bortser från problemet med att man får förväntade svar så kvarstår dock det faktum att samtliga tillfrågade befann sig i landets huvudstad. Filippinernas huvudstad står, enligt en fotnot i dokumentet, för 27 % av landets urbana befolkning. Det sägs dock inte hur stor andel av befolkningen som klassas som urban. Det här kan vara en möjliga felkälla, för det är inte säkert att huvudstadens befolkning är representativ för landets befolkning i stort. Som ett något extremare tankeexperiment, som demonstrerar samma möjliga fel, kan vi föreställa oss värdet av en undersökning av svenskarnas medelinkomst, där samtliga tillfrågade bor i Djursholm. I BBC:s undersökning kom de tillfrågade från urbana områden i 10 av de 25 länderna.

Vad är då min slutsats? Jag har egentligen inte någon. Det framgår inte av rapporten om materialet har behandlats med några statistiska metoder för att bättre kunna ge information av omvärldens bild av USA, eller om man bara samlat in en mängd data utan att bearbeta den vidare. Jag är tveksam till om valet av länder är bra. Det verkar också finnas en del möjliga felkällor, varför jag är fortsatt skeptisk mot undersökningens resultat. Jag skulle vara väldigt försiktig med att gå ut och proklamera för världen att 29 % av alla icke-amerikaner tycker att landet har en negativ inverkan.

Avslutningsvis skall det sägas att jag (ännu! :) inte är någon auktoritet vad gäller statistisk. Dock måste man lyckligtvis inte vara det för att få undra hur en undersökning har genomförts, och om dess resultat verkligen är vad det verkar vara. Den naturliga frågan att ställa när någon presenterar en siffra är den om hur man har kommit fram till siffran ifråga. För den som är intresserad av sådant vill jag rekommendera den underhållande lilla boken How to lie with statistics av Darrell Huff (Victor Gollancz, 1954).

Andra bloggar om: statistik, usa, bbc, tt, samhälle, världen. intressant?

Världens modernaste statistik

Varje onsdagkväll sitter jag bänkad framför TV:n för att titta på Världens modernaste land. När Fredrik Lindström, tillsammans med historikern Peter Englund och diverse inbjudna gäster, skär upp svenskarna för att skåda in i den svenska folksjälen bjuds det på en underbar blandning av fniss, igenkännanden och aha-upplevelser. Folk som står vid busshållplatser och gör sitt yttersta för att inte möta varandras blick varvas med historiska analyser, spekulationer och olika siffror. Det är public service när det är som bäst.

På programmets hemsida finns en frågeavdelning där en etnolog svarar på olika tittarfrågor. För det mesta är texterna bra, men svaret som finns under rubriken ”Stolt svensk firar inte nationaldagen” belyser ett problem som jag allt oftare märker runtomkring mig:

I den enkät Världens Modernaste Land gjorde i våras sade sig nästan 84 procent av enkätsvararna vara stolta över sin nationella tillhörighet. [...] En annan intressant aspekt av detta är att denna stolthet inte alls tar sig uttryck i ett nationaldagsfirande. Endast 19 procent firar vilket innebär att nästan 65 procent av de som är delvis eller helt stolta över att vara svenska inte överhuvudtaget uttrycker denna stolthet vid det tillfälle som är ägnat just åt ett uppvisande av nationell stolthet.

Innan vi går vidare kan en liten repetition av våra matematikkunskaper vara på sin plats; procent betyder hundradel, och om man exempelvis vill räkna ut hur många procent av svenskarna som är stolta över sitt land gör man det genom formeln antalet procent som är stolta över Sverige = (antalet svenskar som är stolta över sitt land/totala antalet svenskar)*100 %.

Var finns då felet i texten ovan? Författaren säger att 84 % av svenskarna är stolta och att 19 % av dem firar nationaldagen. Hon genomför sedan subtraktionen 84-19=65 och konstaterar att 65 % av dem som är stolta inte firar nationaldagen. Det är fel på två olika sätt:

1. Vi vet inte säkert att alla som firar nationaldagen är stolta över sitt land. Det är mycket möjligt, för att inte säga troligt, att det finns en positiv korrelation mellan stolthet över Sverige och viljan att fira nationaldagen (det vill säga, det är troligt att en person som tillhör den ena gruppen även tillhör den andra), men det är fullt möjligt att det finns en grupp svenskar som firar nationaldagen trots att de inte är stolta över Sverige – till exempel för att de gillar fester eller har vänner som gärna vill fira. Man kan alltså inte rakt av subtrahera 19 % från de 84 % som är stolta över Sverige.

2. Det är skillnad på procent och procentenheter, och man kan inte räkna med dem på samma sätt. Om 84 % av svenskar är stolta och vi antar att de 19 % av svenskarna som firar nationaldagen samtliga räknas till dessa 84 % så är 84 % - 19 % = 65 % av svenskarna stolta över sitt land trots att de inte firar nationaldagen. Andelen stolta svenskar som inte firar nationaldagen blir därför, enligt formeln för procent ovan, (antalet svenskar som är stolta över Sverige men inte firar nationaldagen/antalet svenskar som är stolta över Sverige)*100 % = (65 % av 9 miljoner/84 % av 9 miljoner)*100 % = 77,4 % och inte 65 % som Världens modernaste land påstår.

Den här typen av fel är tyvärr ganska vanliga i media idag – de förekommer till exempel ofta i morgontidningar. Ett problem är att journalister, och antagligen humanister i allmänhet, inte får en ordentligt utbildning inom matematik i allmänhet och statistik i synnerhet. Det är synd, eftersom många dagligen stöter på sådana siffror i sin vardag, både privat och i yrkeslivet. Bristande matematiska kunskaper, och det faktum att man med hjälp av statistik kan ”bevisa” till synes motsägelsefulla saker genom att mäta olika närliggande fenomen gör också att folk i allmänhet blir skeptiska mot allt vad statistik heter – alla siffror verkar säga olika saker och ”med statistik kan man bevisa vad som helst”. Så är inte fallet – det gäller bara att veta vad siffrorna betyder och hur de skall hanteras, vad det egentligen är man mäter och vilka slutsatser man egentligen kan dra ur resultatet. Det är inte så konstiga saker egentligen, men sorgligt nog så har många ett stort hål där den statistiska allmänbildningen borde finnas. Och att journalister har dålig koll på matematik kan göra att alla möjliga matematiska konstigheter smyger sig in i media.

För den som är intresserad av ämnet kan jag varmt rekommendera Uppsalaprofessorn Allan Guts populärvetenskapliga bok Sant eller sannolikt, som har getts ut Norstedts förlag och som PAN Pocket. Boken behandlar inte bara statistik utan också (framförallt) det angränsande området sannolikhetsteori, och berättar om hur sådana kunskaper kan komma väl till pass i vår vardag. Spring genast iväg till närmsta bokhandel och köp den!

Andra bloggar om: statistik, matematik, svt, världens modernaste land, sverige, samhälle, media

Britt delar med noll

SvD rapporterar idag att den brittiske datavetaren dr James Anderson har "löst problemet" med nolldivison. Inom matematiken har man sedan länge accepterat att det inte är möjligt att dela med noll - när man försöker göra det leder det raskt till självmotsägelser och absurditeter (det är exempelvis lätt att "bevisa" att 1=2 genom att dela med noll). När en fysiker stöter på nolldivision i sitt arbete är det ett tydligt tecken på att hon försöker använda en modell på ett område där den inte fungerar.

James Andersons tycker sig lösa problemet genom att hitta på ett nytt tal - "nullity". Han meddelar glatt att det här löser en massa problem och att man inte längre behöver oroa sig för vad ens dator skall hitta på när den stöter på nolldivison: "Föreställ dig att du ska landa ett plan med autopiloten på. Om den delar med noll och datorn slutar fungera så har du stora problem" - men med nullity skall datorer klara av den tidigare omöjliga divisionen.

Redan där är han ute och cyklar litegrann. En dator kan inte hantera alla tal (till exempel har den ju inte tillräckligt mycket minne för att kunna jobba med oändligt långa tal). Därför använder man sig av något som kallas flyttal, där IEEE är den vanligaste standarden, som används av så gott som alla moderna datorer. När man försöker dela med noll hanterar IEEE det genom att ge svaret infinity eller NaN (not a number), lite beroende på situationen. Datorn slutar alltså inte att fungera och med hjälp av de metoder för felhantering som man lär sig i grundläggande programmeringskurser kan man ofta kringgå de eventuella problem som kan uppstå.

BBC presenterar två filmklipp och en artikel där James Anderson förklarar sin "upptäckt". Hans har själv skrivit två artiklar om sin "transreella aritmetik", som återfinns på hans hemsida. Artiklarna har publicerats i Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, som inte är en matematisk tidskrift, och verkar inte ha granskats av matematiker. Resonemangen som förs i dem är märkliga, vilket jag inte är ensam om att tycka. Efter den BBC-artikel som länken ovan pekar på följer en lång rad läsarkommentarer, där Andersons idé sågas.

På Andersons hemsida kan man också lösa att han har hittat en lösning på problemet med hur kropp och själ hänger ihop. Fantastiskt! Inte nog med att han löser ett tusenårigt matematiskt "problem", han har dessutom svaret på en stor (STOR) biologisk/psykologisk/filosofisk fråga. Inte illa för en enda person, särskilt med tanke på att inget av områdena är det han är utbildad inom...

Skall man lyssna på James Andersons fiffiga nya idéer om hur man kan definiera om division, talsystemet och funktionsbegreppet för att kunna dela med noll? Nej, det ska man inte.

Varför kan man då inte dela med noll? Ett sätt att se på saken är att erinra sig att divisionen är multiplikationens invers - det vill säga - det som multiplikationen gör, gör divisionen ogjort. 2*4=8 och 8/4=2, 3*7=21 och 21/7=3, och så vidare. Vi får alltså så att säga tillbaka det tal vi multiplicerade med. Problemet är att vilket tal som helst *0=0. När man delar med noll kan man därför inte få tillbaka något, eftersom svaret kan vara vad som helst.

En bra förklaring till varför man inte skall dela med noll ges annars av citatet nedan, som jag hittade på webben för något år sedan:
"If you divide by zero, you end up in Hell. That's all there is to it."

Andra bloggar om: matematik, matte, vetenskap

Bara en till...

Matematikern i mig kunde inte motstå frestelsen: här är ett liten sida som löser andragradsekvationer...

Jag blir mer och mer förälskad i GWT.

Om primtal och webben

Ajax är ett hett modeord bland webbutvecklare i dag. Kombinationen av JavaScript och XML ger häftiga dynamiska sidor som visar oss hur framtidens (eller kanske nutidens?) webb kommer att se ut.

JavaScript är dock pest att koda, vilket det goda folket på Google tagit fasta på. Deras Google Web Toolkit (GWT) konverterar Javakod till JavaScript och HTML, och gör Ajax-utvecklande väldigt mycket enklare. Tack Google!

Själv har jag suttit och lekt med GWT hela eftermiddagen. En av de saker jag gjorde var ett program som jag kallar Primtalsundersökaren. En livsnödvändig liten sak som jag ärligt talat inte förstår hur miljontals surfare har kunnat leva utan... *host*