Finns imaginära tal?

Att berätta att man läser matematik är långt ifrån alltid ett bra sätt att bryta isen när man inleder ett samtal med en ny bekantskap. Allt som oftast möts ett sådant erkännande av skepsis och kommentareren "Jaha... Jag är jättedålig på matte”, vilket trots att det kan låta självnedvärderande långt ifrån sällan uttalas med en viss stolthet. Ibland är det dock ett lysande sätt att öppna ett samtal, som den gången då jag hade en Lundateknolog som skrev på sitt exjobb inom tillämpad sannolikhetsteori som bordsdam. På en fest i höstas sken en lärarstudent upp när jag berättade vad jag sysslade med och utbrast ”Åh, vad bra! Då kan jag ju fråga dig om något som jag undrat över. Finns imaginära tal?” Jag vet inte om det svar jag fick fram där och då riktigt gav frågan rättvisa. Den här texten är ett försök att komma med ett ordentligt svar på den frågan. För att ta oss igenom svaret behöver vi lite gymnasiekunskaper i matematik; till att börja med något om ekvationslösning och sedan kanske lite kunskaper om funktioner, geometri och derivatan.

Antag att vi vill lösa andragradsekvationen x²+1=0 , det vill säga, hitta ett x sådant att x²=-1. Då måste x=√-1, roten ur -1. Efter en stunds funderande kommer vi fram till att det inte finns något vanligt (reellt) tal som uppfyller det villkoret. Samma problem dyker upp om vi exempelvis vill lösa vissa tredjegradsekvationer.

Den italienske matematikern Girolamo Cardano (1501-1576) sysslade med just tredjegradsekvationer. Formeln för hur man löser dessa är uppkallad efter honom, efter att han publicerat den lösning som hans kollega Tartaglia anförtrott honom i utbyte mot ett tysthetslöfte om resultatet. Äran av att ha infört det ”fiktiva” talet √-1, som var nödvändigt för lösandet av ekvationerna, brukar ändå tilldelas Cardano. Om Cardano berättas för övrigt att han tog sitt eget liv genom självsvält för att de astrologiska förutsägelser han gjort om sin död skulle stämma.

För att lösa problemet med att √-1 inte fanns så låtsades man helt enkelt att talet fanns och räknade vidare. Och det fungerade! På så sätt kunde man också konstruera roten ur andra negativa tal, så att exempelvis √-4=√-(4*1)=√4√-1=2√-1. Många matematiker var skeptiska till de här nya talen, och kallade dem för imaginära, lite för att förringa dem.

Så småningom utvecklades en djupare teori för de imaginära talen. Man införde beteckningen i=√-1 och döpte om talen till komplexa. Trots att de tillsynes var så konstgjorda visade det sig snart att de dök upp på ett naturligt sätt i många tillämpingar; exempelvis i de matematiska beskrivningarna av kartor, strömmar, kvantmekanik, snöflingor och astronomi. Idag är de en integrerad, naturlig och viktig del av matematiken.

Finns då talet i eller är det bara så att vi likt renässansmatematikerna låtsas att det finns och glatt räknar vidare? Till att börja med kan vi konstatera att i i någon mening är ett abstrakt tal. Till skillnad från de naturliga talen 1, 2, 3, 4, ..., som vi till vardags använder för att räkna saker, så kan vi inte intuitivt förknippa komplexa tal med något påtagligt; vi kan inte säga att vi har 4i äpplen i handen. Men på samma sätt är det också med många andra tal. Om vi har delat upp en tårta i sex bitar så är det kanske meningsfullt att tala om 5/6 tårta, men vad är exempelvis 5/6 människa? Och kan de negativa talen -1, -2, -3, ... anses vara något naturligt? Visst, de används på temperaturskalor, men skalorna är konstruerade av människor som helt sonika bestämt vad negativa gradtal skall stå för. Och kanske kan man i värsta fall hitta negativa tal på sitt bankkonto, men vad betyder egentligen det? Kan man i någon fysisk mening ha mindre än ingenting på banken? Frågan om ingenting leder oss vidare till talet 0, som kanske är människans märkligaste uppfinning. Att använda en symbol för att beskriva avsaknad, att låta något beskriva intet, är ett väldigt abstrakt grepp. Noll är ett mycket märkligt tal, som steg in i vår matematik förhållandevis sent i historien.

På samma sätt kan vi diskutera talet π, pi, som dyker upp när vi exempelvis vill beskriva en cirkels area. Men i sinnevärlden finns det inga perfekta cirklar, så formeln för att beräkna cirkelns area är någonting onaturligt, och därmed är också π det. Ändå ser vi talet π som något ”verkligt”, på samma sätt som bråkdelar, negativa tal och 0 ses som verkliga.

Frågan om talet i finns föder därmed andra frågor. Vad innebär det att ett tal finns? ”Finns” talet 1? 0? Negativa tal? Är matematiken något verkligt, något påtagligt? Behöver den vara det för att kunna användas?

Kanske ska vi nöja oss med att se matematiken som ett språk som vi kan använda för att beskriva vår omvärld. Vi kan se dess beståndsdelar – tal, funktioner, räknesätt och annat – som ord som kan kombineras efter grammatiska – logiska – regler för att säga olika saker. Frågan om de komplexa talens existens blir då lika märklig som frågan om huruvida ordet ”boll” verkligen finns.

De ”påhittade” komplexa talen har för övrigt en rad fina egenskaper som gör att de är ganska trevliga att arbeta med. De öppnar upp och förklarar en rad områden av matematiken. Ett av de mest välkända resultaten visar ett samband mellan i, π och talet e.

e, som är ungefär lika med 2,718 förekommer vanligtvis i exponentialfunktionen e^x, som har den märkliga egenskapen att den är sin egen derivata. Talet dyker upp överallt i matematiken och används bland annat för att beskriva så vitt skilda saker som bakterietillväxt och när kunder ankommer till en butik. Och vi kan kombinera några av matematikens viktigaste beståndsdelar; addition, multiplikation, upphöjning, likhet, e, i, π, 1 och 0; i ett enda uttryck: det gäller nämligen att e^i*π +1=0. Tal och begrepp från olika delar av matematiken, saker vi använder för att beskriva helt olika saker i vår verklighet, är alltså långt mer ihoplindande än vi från början kunnat ana. För att förstå varför det är så behöver vi mer kunskaper om sinus, cosinus och Taylorserier... men det får bli en historia för en annan dag.

Andra bloggar om: matematik, matte, komplexa tal, imaginära tal. Intressant?